Límites y continuidad de funciones

Muchos procesos en la naturaleza son continuos y esto significa que las funciones matemáticas que los describen también deben serlo, pero… ¿Qué se quiere decir cuando se afirma que una función es continua?

Es muy fácil darse cuenta de que una función es continua cuando no es necesario levantar el lápiz para dibujar su gráfica. Las funciones seno y coseno son buenos ejemplos, así como la función lineal y la cuadrática.

En cambio, aquellas funciones que tienen saltos o discontinuidades presentarán una brecha, una ruptura o un agujero en ciertos valores de x.

Ejemplo de una función discontinua en x=a. Fuente: OpenStax.

Los límites son una excelente opción para calificar la continuidad de una función. En otros post acerca de límites, hemos visto que cuando una función tiene un salto en determinado valor de x, los límites laterales difieren y, en consecuencia, el límite (central) no existe.

En esto radica la clave para establecer criterios de continuidad de funciones a través de límites porque, para que una función f(x) sea continúa en un punto cualquiera, se han de cumplir estas condiciones:

Las tres condiciones deben cumplirse simultáneamente para asegurar que una función es continua para cierto valor de la variable. Basta con que alguna no se cumpla y la función ya no se considera continua en dicho valor.

Los casos en que esto sucede se ilustran a continuación:

En la gráfica de la izquierda, el límite cuando “x” tiende a “a” existe, pero la función no está definida en x=a y es discontinua en ese valor. Se representa con un punto abierto.

Al centro, se ve que la función no es continua en x=a, puesto que los límites laterales difieren aunque la función está definida en x=a. Allí la función tiene un salto o quiebre.

Por último, la función de la derecha tampoco es continua en x=a, ya que, aunque el límite cuando x tiende a “a” existe y la función está definida en dicho punto, f(a) no coincide con el valor L del límite. Es decir, f(a)≠L.

Observaciones importantes acerca de la continuidad de funciones

• Las funciones polinómicas son continuas para todo valor real de x.
• Las funciones racionales son continuas, excepto en aquellos valores que anulen su denominador.
• Las funciones exponenciales y logarítmicas, así como la raíz cuadrada, son continuas para cualquier punto que pertenezca a su dominio.
• Las funciones seno y coseno son continuas para todo valor real de x.

Ejemplo 1

Estudiar la continuidad de la siguiente función:

Solución

 Esta función presenta discontinuidades para los valores de “x” que anulan el denominador: x=2 y x= ─2. 

Allí se presentan dos asíntotas verticales, en cuya vecindad la función crece o decrece rápidamente, tal como se aprecia a través de la gráfica:

Ejemplo 2

Calcula el valor de k para que esta función por partes sea continúa:

Solución

El primer paso es hallar cuánto vale f(1):

f (1) = 1+1=2

Enseguida, se busca cumplir las condiciones de continuidad que aparecen en el recuadro azul:

Igualar los límites laterales conduce a una ecuación para k muy sencilla:

Del resultado anterior, se concluye que el valor de k debe ser igual a 1 para que la función dada sea continua en x=1.

Por F. Zapata.