Observa cuidadosamente la montaña rusa de la figura.
¿Puedes decir en qué tramos la pendiente es más acentuada? ¿Y en cuáles es más suave? ¿Existen puntos donde la pendiente es nula?
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| Fuente: Adobe Stock. |
Para tener una idea, se marcan algunos puntos sobre los tramos y se
dibuja la recta tangente a la curva de la montaña rusa allí, en cada
punto.
Observa que cada segmento de color tiene distinta pendiente, los hay con pendiente positiva, negativa y nula. Los de color verde son horizontales, por lo tanto, su pendiente es igual a 0.
Los de color fucsia tienen pendiente positiva y los de color naranja la tienen negativa.
Podemos asegurar que la primera parte de la montaña, a la izquierda, así como la sección del lazo a la derecha, tienen pendientes más pronunciadas, mientras que la zona del centro es más suave. Pero en ciencias e ingeniería, hay que cuantificar las cantidades, por lo que es necesario encontrar la manera de calcular la pendiente.
Imagina que la silueta de la montaña rusa es la curva de una función, la cual podemos representar sobre el plano cartesiano:
Se sabe que para calcular la pendiente de cualquiera de estos
segmentos se necesitan dos puntos por segmento. Solo así se puede aplicar la conocida
fórmula de la pendiente m de una recta:
Donde (x1,y1) y (x2,y2)
son las coordenadas de los dos puntos P1 y P2.
La cuestión es que la recta tangente toca a la
curva en un solo punto, y se necesitan dos para hallar la pendiente. ¿Dónde
obtenemos el otro punto que se necesita para determinar la pendiente?
Lo haremos con ayuda de los límites.
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La pendiente de esta recta es:
Ahora, hagamos que el punto B se vaya acercando poco a poco al
punto D. En su viaje imaginario sobre la curva, el punto va tomando
sucesivamente las posiciones B´ y B´´, determinando rectas secantes amarillas.
¿Qué sucede si el punto B se acerca muchísimo al punto D, casi confundiéndose?
La respuesta es que cuando B y D estén muy cercanos, se tendrá la recta tangente deseada, cuya pendiente es:
Siempre que el límite exista, por supuesto.
Ahora bien, como ya se sabe:
En cuyo caso, la pendiente de la recta tangente queda así:
Pero x2 —x1 = Δx, por
lo tanto: x2 = x1 + Δx.
Haciendo x1=x,
la pendiente de la recta tangente toma la forma:
A este límite especial se le conoce con el
nombre de derivada de la función con respecto a x.
Se concluye que:
“La derivada de una
función en un punto dado, es la pendiente de la recta tangente a la curva de la
función, en ese punto”
Si se quiere calcular la pendiente de la
montaña rusa en cada punto, es necesario hallar la derivada en cada punto. Para
ello podemos:
i) Dibujar la recta tangente a la curva en
cada punto. Conocido el punto de tangencia y otro punto de dicha recta, se
puede calcular fácilmente la pendiente con la ecuación para m que se dio
anteriormente. El valor de la pendiente coincide con el de la derivada en dicho
punto.
ii) Si se conoce la fórmula de la función cuya
curva es la montaña rusa, se puede encontrar el límite que acabamos de mencionar.
Con esto se tendrá la derivada en cualquier punto de la función. Es más,
se puede deducir una serie de reglas para hallar la derivada sin tener
necesidad de encontrar el límite cada vez. Estas reglas se desarrollarán más
adelante y simplifican muchísimo el cálculo de las derivadas.
Ejemplo
Encuentra
la derivada de la función cuya gráfica se muestra, en el punto (1,0).
Solución
Marca el punto (1,0) en la gráfica.
Paso 2
Dibuja con una regla la recta tangente a la
curva en el punto (1,0) y alarga lo suficiente hasta que la recta cruce con el
eje vertical. Marca el punto de corte y escribe sus coordenadas.
Paso 3
Calcula la pendiente de la recta con los
puntos obtenidos. Este será el valor de la derivada de la función en el punto
dado (1,0):
Por F. Zapata
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