¿Cómo resolver un límite de la forma 0/0 paso a paso?

 Por F. Zapata

El límite cuando x → h de una función racional, tal que resulta 0/0, es una indeterminación. 

En Cálculo, una indeterminación significa que nada puede afirmarse o predecirse respecto a la función, cuando se pretende evaluarla en x = h.

Los límites de la forma 0/0 son muy comunes en Cálculo y muchos se resuelven con procedimientos algebraicos sencillos. Fuente: Vecteezy.

Esto es lo que sucede, por ejemplo, con el siguiente límite:

Al evaluar numerador y denominado en x = 3, se obtiene:

3²− 5×3 + 6 =9 – 15 + 6 = 0

x – 3 = 0

Lo cual conduce irremediablemente a una indeterminación 0/0.

A pesar de esto, el límite podría existir, es decir, se podría acercar por la izquierda y la derecha a x = h, y la función podría tomar un valor único, que sería el límite buscado.

La forma de encontrarlo analíticamente, es aplicando algún procedimiento algebraico para modificar la expresión, con el objetivo de eliminar la indeterminación. Si esto es posible, el límite se puede evaluar sin problemas.

En una expresión racional, la indeterminación se elimina cancelando el factor que anula el denominador, aunque otra opción es, por supuesto, que el límite simplemente no exista.

Entre los procedimientos algebraicos más utilizados para eliminar la indeterminación están:

• Factorizar numerador y denominador
• Hacer un cambio de variable, si la función es trascendente o irracional
• Aplicar la regla de L´Hopital.

Desde luego, la aplicación del método más conveniente depende de la forma de la expresión cuyo límite se quiere encontrar. 

Pasos para resolver el límite de la forma 0/0

1. El primer paso es, obviamente, cerciorarse de que el límite solicitado efectivamente corresponde a una indeterminación 0/0. Hay varias clases de límites, y no todos responden a procedimientos de factorización para ser resueltos.
2. Una vez seguros de que el límite es de la forma 0/0, se aplica el procedimiento seleccionado para eliminar la indeterminación.
3. Se evalúa la expresión resultante en x = h y el resultado es el límite solicitado.

Ejemplo 1

Calcular el siguiente límite, mediante factorización:

Solución

Previamente, se constató que este límite es de la forma 0/0. Ahora se factoriza el numerador, el cual es un trinomio cuadrado:

x²− 5x + 6 = (x−3)(x+2)

El denominador es un único factor igual a x−3, por lo que se le deja tal cual. Si no fuera así, habría que factorizarlo también. Este es justamente el factor que se debe cancelar para eliminar la indeterminación.

El límite queda así ahora:

Y afortunadamente, el factor x−3 se cancela, por encontrarse tanto en el numerador como en el denominador:

El límite pedido existe y vale 1.

Si el lector ya conoce el tema de las derivadas, puede calcular este mismo límite a través de la regla de L´Hopital.

Ejemplo 2

Calcular el siguiente límite mediante la regla de L´Hopital:

Solución

La regla de L´Hopital aplica a formas indeterminadas como 0/0, y requiere derivar por separado el numerador y el denominador, hasta que la indeterminación desaparezca.

Y se obtuvo el mismo resultado que en el ejemplo anterior, como era de esperar.

Ejercicios resueltos

Calcular los siguientes límites:

a) 

b) 

Respuesta a

La función es racional, de la forma P(x)/Q(x), con P(x) y Q(x) polinomios de grado 3. El método a utilizar en primera instancia es el de la factorización del numerador y el denominador, a fin de cancelar el factor que anula este último.

Pero antes se evalúan numerador y denominador en x = −2, a fin de corroborar que el límite solicitado es de la forma 0/0:

• (−2)³ + 3∙ (−2)² – 4 = −8 +12 – 4 = 0
• (−2)³ – (−2)² – 4 = −8 – 4 – 6∙(–2) = –8 – 4 + 12 = 0

En efecto, se trata de una indeterminación de la forma 0/0. 

Factorización del numerador

Comenzando con el numerador, se utiliza la regla de Ruffini para hallar la primera raíz del polinomio.

Para usar la regla de Ruffini, se trabaja únicamente con los coeficientes del polinomio ordenado y completo, poniendo 0 cuando hay un término faltante:

x³ + 3x² – 4 = x³ + 3x² + 0x – 4

Y entonces se tantea la primera raíz, usando alguno de los divisores del término independiente, que es −4. Estos divisores son ±1, ±2, ±4, y al elegir +1, queda:

 

        1      3        0       – 4

 

1              1        4          4

______________________

       1        4       4         0

 

La factorización del numerador ya está lista para escribirse como:

x³ + 3x² – 4 = (x – 1)(x² + 4x + 4)

El segundo factor es un trinomio cuadrado perfecto, de manera que:

 x³ + 3x² – 4 = (x – 1)(x² + 4x + 4)=(x – 1)(x+2)²

El lector puede corroborar que, al desarrollar el lado derecho de la igualdad, obtiene el lado izquierdo.

Factorización del denominador

Ahora se procede de la misma forma con el denominador, aunque en este caso no es necesario aplicar Ruffini:

x³ + x² + 6x = x(x² – x + 6) = x(x–3)(x+2)

Cálculo del límite

El límite se reescribe así:

 

El límite sí existe y vale 0.

Alternativamente, por la regla de L’Hopital, el límite resulta:

 

Respuesta b

Esta es una función racional que contiene un término irracional en el numerador. El límite es de la forma 0/0, ya que:

•  4 +2√4 – 8 = 8 – 8 = 0
• 4 – 4 = 0

Entonces, como hay un término con raíz cuadrada en el numerador, se hace el cambio:

 u = √x

Por el cual:

u² = x.

Cuando x = 4, significa que u = 2.

Con lo anterior, el límite dado se transforma en:

 Factorizando numerador y denominador:

El factor (u – 2) se cancela y queda:

Alternativamente, mediante la regla de L’Hopital: