Ejercicio 1
Un fabricante produce un modelo de caja de 108 m3 con piezas de cartón de 12 metros de lado, cortando cuadrados en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba, como se observa en el dibujo. ¿Cuál es la longitud del lado de cada uno de los cuadrados que se cortan en las esquinas, teniendo en cuenta solo valores naturales?
V = largo x ancho x altura = 108 m3
La altura de la caja es x, el ancho de la caja es 12 - 2x y el largo de la caja también, puesto que la lámina original era cuadrada y las esquinas se han recortado en forma cuadrada también.
De manera que el volumen, en términos de estas dimensiones, se puede expresar algebraicamente de la siguiente manera:
(12 - 2x) (12 - 2x) x = 108
Para comenzar a simplificar, la expresión se puede factorizar, ya que los coeficientes en los dos primeros factores son pares:
2(6 - x).2(6-x)x = 2. 2.27
(6 - x).(6-x)x =27
De aplicar la propiedad distributiva o resolver el producto notable, daría una ecuación cúbica, que de todas formas se puede resolver con una calculadora científica o en línea.
Afortunadamente por inspección, una solución real, que a la vez pertenece al conjunto de los números naturales es x = 3.
Si sustituimos x = 3 en la última expresión deducida, se tiene una igualdad:
(6-3).(6-3).3 = 27
3.3.3 = 27
Otra opción es factorizar mediante Ruffini, que igualmente significa que hay que tantear el valor de las raíces.
Por lo tanto la respuesta es: los cuadrados de las esquinas deben medir 3 cm de lado cada uno.
I) El vértice de la parábola es (1 , -9)
II) La parábola corta al eje “X” en los puntos (4 , 0) y (-2 , 0)
III) La parábola corta al eje “Y” en el punto (0 , -8)
Analicemos cada una de las propuestas por separado.
Solución
El volumen de la caja construida como se indica en el enunciado es:V = largo x ancho x altura = 108 m3
La altura de la caja es x, el ancho de la caja es 12 - 2x y el largo de la caja también, puesto que la lámina original era cuadrada y las esquinas se han recortado en forma cuadrada también.
De manera que el volumen, en términos de estas dimensiones, se puede expresar algebraicamente de la siguiente manera:
(12 - 2x) (12 - 2x) x = 108
Para comenzar a simplificar, la expresión se puede factorizar, ya que los coeficientes en los dos primeros factores son pares:
2(6 - x).2(6-x)x = 2. 2.27
(6 - x).(6-x)x =27
De aplicar la propiedad distributiva o resolver el producto notable, daría una ecuación cúbica, que de todas formas se puede resolver con una calculadora científica o en línea.
Afortunadamente por inspección, una solución real, que a la vez pertenece al conjunto de los números naturales es x = 3.
Si sustituimos x = 3 en la última expresión deducida, se tiene una igualdad:
(6-3).(6-3).3 = 27
3.3.3 = 27
Otra opción es factorizar mediante Ruffini, que igualmente significa que hay que tantear el valor de las raíces.
Por lo tanto la respuesta es: los cuadrados de las esquinas deben medir 3 cm de lado cada uno.
Ejercicio 2
La siguiente función:
y = f(x) = x2 -2x - 8
Donde x pertenece a ℛ, es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola. Señale cuáles son los enunciados verdaderos:
II) La parábola corta al eje “X” en los puntos (4 , 0) y (-2 , 0)
III) La parábola corta al eje “Y” en el punto (0 , -8)
Solución
Analicemos cada una de las propuestas por separado.
I) La coordenada x del vértice de una parábola, denotada como xv se calcula mediante:
La parábola del enunciado tiene: A = 1, B = -2, C = -8, por lo tanto:
}{2\times&space;1}=1 "x_{v}=\frac{-(-2)}{2\times 1}=1")
Sustituyendo x = 1 en la ecuación de la parábola se obtiene la correspondiente coordenada yv :
yv = 12 -2.1 - 8 = 1- 2- 8 = -9
Por lo tanto el vértice de la parábola es el punto (1 , -9) y la afirmación I) es correcta.
II) Para saber los puntos de corte de la parábola con el eje "X" hay que resolver la ecuación:
x2 -2x - 8 = 0
Una forma de resolverla es aplicando la fórmula de la resolvente:
La parábola del enunciado tiene: A = 1, B = -2, C = -8, por lo tanto:
Sustituyendo x = 1 en la ecuación de la parábola se obtiene la correspondiente coordenada yv :
yv = 12 -2.1 - 8 = 1- 2- 8 = -9
Por lo tanto el vértice de la parábola es el punto (1 , -9) y la afirmación I) es correcta.
II) Para saber los puntos de corte de la parábola con el eje "X" hay que resolver la ecuación:
x2 -2x - 8 = 0
Una forma de resolverla es aplicando la fórmula de la resolvente:
Otra manera es factorizando el trinomio.
-Se escribe la factorización: (x - ) (x + ) = 0
-Por tanteo se buscan dos números cuyo producto sea 8 y que su resta de 2. Tales números son 4 y 2. --El mayor se coloca en el primer paréntesis y está lista la factorización:
x2 -2x - 8 = (x-4)(x+2) = 0
Las raíces son x = 4 y x = -2. Las respectivas coordenadas en y son 0, puesto que en estos valores la parábola corta al eje "x", por lo tanto los puntos de corte son:
(4, 0) y (-2,0)
Y se concluye que la afirmación II) es correcta.
III) El corte de la parábola con el eje vertical se encuentra sustituyendo x=0 en f(x):
y = f(x) = x2 -2x - 8 = 02 -2.0 - 8 =-8
El punto de corte de la parábola con el eje vertical es (0,-8) y la afirmación III) también es correcta.
Ejercicio 3
El volumen de una caja de cartón de base cuadrada es función de la medida de su arista (en centímetros). Encuentre la ley de la función para la caja de la figura. ¿De qué tipo de función se trata? ¿Cuál es el dominio de la función?
Solución
El volumen de la caja es:
V = largo x ancho x altura
Por lo tanto:
V(x) = x . x. (12- x) = x2(12- x) = 12 x2 – x3
Se trata de una función cúbica, que en principio admite cualquier valor real. Sin embargo como x es una longitud, y V es un volumen, el dominio de V(x) son todos los números reales mayores que 0.
Asimismo 12 - x debe ser real y positivo, por lo tanto la función V(x) solamente admite valores de x mayores que 0 y menores que 12. En notación de intervalo:
Dom V(x) = (0,12)
Ejercicio 4
Se localizó un globo meteorológico a cierta altura. A partir de ese momento, su altura sobre el nivel del mar se puede describir, en forma aproximada, mediante la siguiente ley:
Donde t está medido en días y h en miles de metros.
a) ¿A qué altura estaba el globo cuando fué localizado?
b) ¿Alcanzó otra vez esa misma altura?
c) ¿Llegó alguna vez a una altura de 7000 metros?
d) Represente gráficamente la altura en función del tiempo para un período de 7 días.
Solución a
El enunciado dice que la ley es válida a partir del momento en el globo es localizado. Ese instante es t = 0 días, por lo tanto, haciendo t = 0 en h(t) se tiene:
La respuesta es: estaba a una altura h = 4000 metros cuando fue localizado.
Solución b
Para saber si alcanzó de nuevo los 4000 metros de altura, hagamos h = 4 y veamos qué sucede:
Se saca t factor común:
Ya se tiene una primera solución que es t = 0 días.
Hay al menos dos soluciones más, ya que el paréntesis es un trinomio cuadrado y queda una ecuación de segundo grado:
Donde:
A = 0.1, B = -1 y C = 3.1
Sin embargo las soluciones no son reales ya que el factor:
Es negativo, por lo tanto las raíces no son reales. La respuesta es que no volvió a alcanzar de nuevo esa altura.
Solución c
Para saber esto, hagamos h = 7 en h(t):
+7=7 "\frac{1}{10}\left (t^{3}-10t^{2}+31t-30 \right )+7=7")
Queda:Es una ecuación cúbica que podemos probar a factorizar por regla de Ruffini. Por tanteo llegamos a la primera solución, que es t=2.
1
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-10
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31
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-30
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2
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2
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-16
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30
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1
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-8
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15
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0
|
Todas las soluciones son:
t= 2, t=5 y t=3.
Por lo tanto sí llega a 7000 metros de altura en tres ocasiones: al cabo de 2 días, al cabo de 3 días y finalmente al cabo de 5 días. En el eje horizontal están los días.
Solución d
La gráfica de h(t) se muestra a continuación. En efecto, cuan do t = 0, h = 4, que equivale a una altura de 4000 m según el enunciado. Al cabo de 2 días alcanza los h=7, que son 7000 m, sube todavía un poco más, alcanzando un máximo. Luego el globo desciende y poco después del día 4 alcanza una altura mínima, pero no por debajo de 4000 m, para luego ascender rápida y continuamente después del día 5.
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| Gráfica de la función polinomial h(t) con Geogebra. Fuente: F. Zapata. |
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