Cuando se intenta sumergir con la mano un objeto en un fluido en reposo, por ejemplo en agua, se siente una resistencia, como si una fuerza proveniente del fluido mismo empujara el objeto hacia arriba. También se sabe que, dejado en libertad, el cuerpo puede flotar completamente, sumergirse de forma parcial o hundirse del todo.

Todo esto se debe a que un fluido, a través de la presión, ejerce una fuerza resultante sobre el objeto, dirigida verticalmente hacia arriba, llamada flotación o empuje hidrostático, equivalente al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Por ello una persona sumergida en una piscina, siente la sensación de ser más liviana, de haber perdido peso.

Figura 1.- Aunque la mayor parte del iceberg está sumergido, una pequeña parte flota sobre el agua del mar, puesto que la densidad del hielo es menor, lo cual se explica gracias al principio de Arquímedes. Fuente: Pixabay.

Esto es lo que establece el principio de Arquímedes:

“Un cuerpo sumergido en un fluido en reposo, experimenta una fuerza ascensional equivalente al peso del fluido desalojado”

Este fluido desalojado o desplazado, hace referencia al hecho de que, cuando se sumerge un objeto en el seno de un fluido, evidentemente hay que hacer “espacio” para él, por eso el agua de una tina completamente llena se derrama cuando alguien se mete dentro.

Si a dicha fuerza ascencional se la llama B (por “buoyancy” en inglés) el principio de Arquímedes establece que su magnitud B viene dada por:

B = ρ_fluido ∙V∙g

Donde ρ_fluido es la densidad del fluido en cuestión, que puede ser incluso aire, V es el volumen del fluido desplazado. Por último, g es el valor de la aceleración de la gravedad.

Figura 2.- Un cuerpo sumergido en un fluido recibe fuerzas en todas direcciones, a causa de la presión que ejerce el fluido sobre él. Fuente: F. Zapata.

Las unidades en el sistema internacional de unidades SI para el empuje son las mismas que para cualquier otra fuerza, es decir, el newton, abreviado N.

Al ser el empuje una fuerza, además de la magnitud dada aquí, también tiene dirección vertical y sentido opuesto al peso, es decir, se trata de una fuerza ascendente. Esto es así debido a que las componentes horizontales de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto se cancelan por pares, quedando solamente las componentes verticales, las cuales dependen de la profundidad a la que actúan.

Demostración

Supóngase un pequeño disco hecho del mismo fluido y separado del resto, mostrado en color rosa en la figura de abajo. La fuerza ascensional que ejerce el fluido circundante sobre este disco es la misma que ejercería sobre un disco hecho de cualquier otro material a igual profundidad, pues la forma es la misma.

Figura 3.- Fuerzas que la masa de fluido ejerce sobre una pequeña porción de fluido con forma de disco, ubicado a cierta profundidad. Fuente: modificado de Tippens, P. Física.

Ahora conviene recordar que la presión se debe únicamente a las fuerzas perpendiculares a las superficies, por lo tanto, las componentes horizontales se cancelan, por tener igual magnitud, pero sentidos contrarios. En cuanto a las fuerzas verticales, sí tienen diferentes magnitudes, pues como se recordará, la presión depende del valor de h, es decir, de la profundidad. Esas son las fuerzas que interesan, pues no se cancelan.

La presión sobre la cara superior de área A es:

P₁ = P_o + ρ_fluido∙g∙h₁

Donde P_o es la presión atmosférica, mientras que la presión sobre la cara inferior es:

P₂ = P_o + ρ_fluido∙g∙h₂

La diferencia de presiones es:

ΔP = P₂− P₁ = (P_o + ρ_fluido∙g∙h₂)− (P_o + ρ_fluido∙g∙h₁) = ρ_fluido∙g∙ (h₂− h₁) = ρ_fluido∙g∙ H

La cual da lugar a la fuerza de empuje, cuya magnitud es B = ΔP∙A, ya que la presión se define como fuerza por unidad de área. Entonces:

B = ρ_fluido∙g∙ H∙A

Pero el volumen V del pequeño disco es el producto de su altura H por el área A de la tapa:

V = H∙A

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza ascensional o empuje B es:

B = ρ_fluido∙g∙V

Ahora bien, el disco está en equilibrio estático, por lo tanto, la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre él es nula. Aparte de B, la otra fuerza que actúa es el peso del disco, llamado W y cuya magnitud es:

W = mg

Siendo m la masa del disco.

Figura 4.- Diagrama de cuerpo libre de un pequeño disco de fluido. Fuente: modificado de Tippens, P. Física.

Aplicando la segunda ley de Newton:

∑ F_y = B – W = 0

Queda:

B = W

ρ_fluido∙g∙V = mg

Y esta última igualdad es precisamente la expresión matemática del principio de Arquímedes, que establece que la fuerza ascensional o empuje, equivale en magnitud al peso del fluido desplazado.

Ejemplo

Se tienen dos recipientes idénticos, llenos de agua hasta el borde. En uno de los recipientes se sumerge una tuerca. ¿Cuál de los dos recipientes pesa más?

Respuesta

Los dos recipientes pesan igual, ya que la tuerca tuvo que desplazar un volumen de agua para ubicarse dentro del recipiente. Dicho volumen de agua se derramó del recipiente y, de acuerdo al principio de Arquímedes, tiene el mismo peso que la tuerca.

Flotabilidad y densidad

Un bloque de madera de cierto volumen se las arregla para flotar en el agua, pero un bloque idéntico hecho de acero, plomo o algún otro material pesado, irremediablemente se hunde. Para saber si un cuerpo se hunde o no en un determinado fluido, hay que conocer la densidad, tanto del cuerpo como la del fluido. Se supondrá que una y otra son constantes.

Si el peso de un objeto de masa m_o, volumen V_o y densidad ρ_o es:

W = m_o∙g = ρ_oV_og

Cuando está completamente sumergido, el principio de Arquímedes afirma que el objeto desplaza un volumen de fluido cuyo peso equivale a la magnitud del empuje:

B = ρ_fV_fg

Pero, claro está, ambos volúmenes serán idénticos, V_o = V_f, ya que, como se ha dicho, el objeto está completamente sumergido.

Dividiendo término a término estas dos ecuaciones se obtiene:

Por lo tanto:

Pues bien, si ρ_o > ρ_f, el empuje es menor que el peso y el objeto se hunde, y si ρ_o < ρ_f, entonces el empuje es mayor que el peso y el objeto flota.

¿Y si las densidades son iguales? Entonces el objeto permanecerá en equilibrio a cualquier profundidad.

Ejemplo 2

¿Qué porcentaje del volumen de un iceberg en reposo está sumergido bajo el agua de mar? Se suponen conocidas las densidades del hielo y la del agua de mar:

ρ_hielo = 920 kg/m³

ρ_agua _{de mar} = 1030 kg/m³

Figura 5.- Sin importar la forma del iceberg, el principio de Arquímedes nos asegura que apenas el 11% del volumento total del iceberg es visible por encima del agua. Fuente: Pixabay.