El problema de la esfera flotante, resuelto paso a paso

 

Enunciado

 Se tiene una esfera uniforme, en reposo parcialmente sumergida en agua, como se muestra en la figura. ¿Cuál será la densidad de la esfera?

Solución

Para calcular la densidad ρ_e de la esfera, se emplea la ecuación:

Donde m es la masa y V_T es el volumen de la esfera completa.

Cálculo del volumen total de la esfera V_T

Este volumen se calcula fácilmente mediante:

El radio R es conocido a partir de la figura, ya que es la mitad del diámetro D = 0.800 + 0.400 m = 1.200 m, entonces el radio es R = 0.600 m.

Por lo tanto, el volumen V_T de la esfera es:

Aplicación del principio de Arquímedes

Falta conocer la masa. Al igual que en el problema del tronco flotante, para conocer este dato se requiere emplear el principio de Arquímedes. Ya que la esfera flota parcialmente en el agua, su densidad debe ser algo menor que la de esta.

El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas a las que está sometida la esfera: el peso W y el empuje B, ambas fuerzas son verticales, por lo que únicamente se necesita la sumatoria de fuerzas a lo largo del eje y:

∑ F_y = B – W = 0

B = W = mg

El principio de Arquímedes establece que la magnitud del empuje es igual al peso del volumen de fluido desplazado cuando el objeto se sumerge:

B = ρ_f∙V_s∙g

Donde:

- ρ_f es la densidad del fluido, en este caso agua, cuyo valor es ρ_f = 1000 kg/m³

- V_s es el volumen sumergido.

Igualando:

ρ_f∙V_s∙g = mg

Por lo tanto:

m = ρ_f∙V_s

Entonces, para calcular la masa de la esfera se necesita el volumen sumergido V_s, pero ya no se puede emplear la fórmula del volumen utilizada al comienzo, puesto que esta es válida para la esfera completa, en cambio, se usará el volumen de un casquete esférico V_c, cuya expresión viene dada por:

Al final del artículo está el video donde se explica detalladamente cómo calcular este volumen.

En la fórmula anterior, r y h representan, respectivamente, el radio de la esfera y la altura del casquete, según la figura que se muestra:

Volumen del casquete esférico. Fuente: Wikimedia Commons.

Es importante destacar que el volumen que se calcula de esta manera corresponde al casquete superior de la figura, es decir, la porción de la esfera que estaría fuera del fluido.

El volumen que se necesita es el volumen sumergido V_s, el cual se calcula restando del volumen total (se calculó al comienzo) el volumen del casquete V_C, en otras palabras:

Vs = V_T − V_C

Cálculo del volumen del casquete V_C

De acuerdo a los datos suministrados en la figura del enunciado:

h = 0.400 m

r = 0.600 m

Por lo tanto, el volumen del casquete es:

Cálculo del volumen sumergido V_S

Entonces, el volumen sumergido es:

Vs = V_T − V_C = (0.905 – 0.235) m³ = 0.670 m³

Cálculo de la masa m de la esfera

Y ahora sí, la masa de la esfera es:

m = ρ_f∙V_s = 1000 kg/m³ × 0.670 m³ = 670 kg

Cálculo de la densidad ρ de la esfera

Entonces, la densidad de la esfera es:

Tal como se dijo al principio, es menor que la del agua, por eso la esfera es capaz de flotar semisumergida.

Para quienes deseen conocer como se obtiene la fórmula que da el volumen de un casquete esférico, les sugiero el siguiente video:

Volumen de un casquete esférico: método de los discos, por R. Perez.