El centro de masa de un sistema de partículas, ya sean discretas (que se pueden contar) o continuo (tan pequeñas que no es fácil enumerarlas una a una), es el punto en el que se concentra toda la masa.
Por su
parte, el centro de gravedad es el punto del cuerpo en el que se aplica el peso
del mismo. Téngase presente que un cuerpo extenso, como una estructura en una
edificación, por ejemplo, está compuesto de muchísimas partículas. La Tierra
ejerce una fuerza sobre cada una de ellas y sería engorroso calcularlas todas,
así que solo se calcula la resultante y se aplica sobre ese punto específico
del cuerpo.
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| El centro de masas del atleta cambia según la posición que adopta. Al estar de pie, el centro de masas de una persona está más o menos a la altura del ombligo, pero al curvar el cuerpo por encima del listón horizontal, el centro de masas del atleta queda bajo el arco que forma su cuerpo y debajo del listón. Fuente: PxHere. |
Conocido el
centro de masas del cuerpo, su movimiento global se describe analizando el
movimiento de este punto. Por ejemplo, en un objeto lanzado oblicuamente, como una llave inglesa, los
movimientos individuales de cada partícula pueden ser complejos, combinando
rotaciones y traslaciones, pero el centro de masas se mueve siguiendo una
trayectoria parabólica, cuyas ecuaciones son conocidas y sencillas de utilizar.
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| Cuando se lanza oblicuamente la llave inglesa, el centro de masas de la llave describe la trayectoria parabólica bajo la acción de la gravedad, aunque otros puntos del objeto experimenten giros y traslaciones más complicadas. Fuente: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu |
Cómo calcular el centro
de masas
Comenzando
con un caso sencillo, el de dos partículas idénticas de masa m cada una, su
centro de masas está en la mitad de la línea imaginaria que las une, pero si
las partículas son diferentes, el centro de masas se ubica más cerca de la
partícula más masiva.
Si el Sol y la Tierra se modelan como partículas, el centro de
masas del sistema estará más cerca del Sol que de la Tierra. Claro que estos
dos objetos son objetos extensos, ¿dónde estaría el centro de masas del Sol,
considerado individualmente? ¿Y el de la Tierra?
Pues
suponiendo que ambos objetos son perfectamente esféricos, y su densidad es
uniforme, el centro de masas de cada uno estaría en su centro geométrico. En
efecto, en los objetos extendidos de forma simétrica y densidad homogénea, el
centro de masas está justo en el medio.
Otra
pregunta que se puede formular es: ¿hay masa en el centro de masas?
La
respuesta es no. No necesariamente hay masa en el centro de masa, por ejemplo
el caso de una donut o el atleta de salto alto cuando alcanza su altura máxima,
Características del
centro de masas
- Siempre se requiere establecer un sistema de coordenadas para hacer el cálculo del centro de masas.
- Su ubicación no depende del sistema de coordenadas elegido para calcular, ya que es una propiedad del sistema.
- No necesariamente hay masa en el centro de masa.
- La localización del centro de masa y el centro de gravedad coinciden en la Tierra, suponiendo que la gravedad de la misma es uniforme (usualmente 9.8 m/s2)
- El centro de masas de un objeto siempre existe, pero el centro de gravedad no. Por ejemplo, un objeto en el espacio exterior, muy alejado del sistema solar u otro objeto celeste, que no recibe interacciones gravitatorias, no tendrá centro de gravedad, pero sí centro de masa.
- Siempre que exista un eje simetría en el cuerpo, o un plano de simetría, el centro de masas está ubicado en algún punto sobre dicho eje o plano.
- Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, pueden aplicarse al centro de masa, por ejemplo el peso.
Cálculo del centro de
masas
En cuanto a
la forma de calcular el centro de masas, hay dos métodos, según la disposición
de las partículas. En primer lugar está la distribución discreta, que es un
conjunto de partículas que se pueden numerar, y en segundo lugar, está la
distribución continua, donde las partículas son tan pequeñas y su número es tan
grande, que no se las puede distinguir por separado.
Centro de
masas de una distribución discreta
Sea un
sistema de N partículas, y un sistema de referencia, mediante el cual es
posible establecer el vector de posición de cada una, al que como siempre,
llamaremos r
y que depende de
las coordenadas espaciales x, y, z.
La partícula 1,
cuya masa es m1 tiene el vector de posición r1, la
partícula 2, de masa m2 tiene el vector de posición r2,
y así sucesivamente, hasta llegar a la partícula N-ésima, de masa es mN
y vector de posición rN
El centro de
masas de esta agrupación de partículas, denotado como rCM, es
el siguiente promedio ponderado:
Atención con esta
ecuación, pues es una ecuación vectorial, ya que la posición es un vector, y
por eso se ha escrito en negritas. Se puede desglosar en tres ecuaciones, una
para cada componente espacial:
También se pueden
escribir de esta forma:
Con:
Donde M es la masa
total del sistema.
Centro de
masas de la distribución continua
El centro de
masas de un objeto extendido, compuesto de innumerables partículas
indistinguibles, se calcula sustituyendo la sumatoria por una integral, que se
efectúa sobre todo el volumen V del objeto y que depende de la geometría del
mismo:
Compárese esta
ecuación con la anterior, aquí la masa dm es una masa infinitesimal, es decir, un
diferencial de masa, y r es una función vectorial de las coordenadas x,
y, z.
Ejemplo 1
Calcular el centro de masa de dos masas puntuales m1
= 5 kg y m2 = 10kg ubicados en r1 = (3 i +
3 j) m y r2 = (8 i + 5 j ) m, como se
muestra en la siguiente figura:
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| Fuente: F. Zapata. |
Solución
Ejemplo 2
En la siguiente figura se muestran tres
cubos, todos homogéneos y hechos con el mismo material. El más pequeño tiene
lado ℓ, el del medio 2ℓ y el más grande 3ℓ. Los centros de cada cubo se ubican
sobre una misma línea. Encontrar la posición del centro de masas del sistema.
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| Fuente: F. Zapata. |
Solución
Se supondrá
que cada cubo es una partícula de masa m, ubicada en su centro geométrico.
Luego se utilizarán las ecuaciones para el centro de masa de un sistema
discreto, como en el ejemplo anterior.
1.- Cálculo
de la masa de cada cubo
Sea ρ la densidad del material con que están hechos los cubos, la cual es la
misma para los tres, entonces, la masa de cada uno es el producto de la
densidad por su respectivo volumen:
m = ρ∙V
Para calcular el
volumen del cubo, se emplea la fórmula:
V =𝓁3
Donde 𝓁 es el lado del cubo en cuestión.
Además: m1
es la masa del cubo más pequeño, m2 es la masa del mediano y m3
la masa del mayor, siendo sus respectivos lados son ℓ, 2ℓ y 3ℓ, como se indica en el enunciado. Aplicando el despeje de la
masa:
m1 = ρ𝓁3 ; m2 = ρ(2𝓁)3 = 8 ρ𝓁3 ; m3 = ρ(3𝓁)3 = 27 ρ𝓁3
2.- Ubicación de
cada masa
El sistema de
coordenadas tiene el origen en la cara lateral izquierda del cubo más pequeño,
según muestra la figura. El sistema de tres cubos tiene un eje de simetría, que
es el eje x. Allí está ubicado el centro de masas del sistema, en algún punto
más cercano al cubo grande que al cubo pequeño. La elección del origen es
arbitraria, se pudo haber colocado en otro lugar del eje de simetría de los
tres cubos, pero esto no modificaría el resultado final, ya que como se ha
dicho antes, la ubicación del centro de masas no depende del sistema de
coordenadas.
En el ejemplo
mostrado, la posición del CM de cada cubo es como sigue:
x1 = 0.5𝓁 ; x2 = 2𝓁 ; x3 = 4.5𝓁
3.- Cálculo del
centro de masas del sistema
La información
obtenida en los pasos anteriores se sustituye en la ecuación para el CM de la
distribución discreta.
Por lo tanto, se concluye que el CM del sistema conformado por los tres cubos está ubicado a 3.83ℓ, contando desde el borde izquierdo del cubo pequeño.
Ejemplo 3
Calcular el
centro de masas de una barra recta y delgada, de masa M, longitud total L y de
densidad de masa λ no uniforme, dada por:
λ =kx
Donde k es
una constante, y x representa la posición de un punto de la barra, medida a
partir de un extremo, tal como se muestra en la figura siguiente:
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| Fuente: F. Zapata. |
Solución
El centro de masas de esta barra estará ubicado a lo largo del eje x, en algún punto sobre la barra más cercano al extremo derecho. ¿La razón? La densidad de masa de la barra aumenta de izquierda a derecha, según la ecuación λ =kx, es evidente que cuando x = 0, la densidad de masa es 0, mientras que cuando x = L, la densidad es máxima y vale λ =kL.
Dado que la barra es un objeto continuo, se va a emplear la fórmula:
Pero como el CM está en el eje x, y la barra tiene longitud L, se cambia a:
Aquí “dm”
es una porción infinitesimalmente pequeña de la barra, en la gráfica es la
pequeña porción en color azul, la cual está ubicada en una posición “x”
desconocida sobre la barra. Su ancho es “dx”.
Dado que la
densidad de masa es el cociente entre masa y longitud:
Se
sustituye esto en la ecuación anterior, teniendo en cuenta que los límites de
integración van desde x = 0 hasta x = L, para asegurarse de sumar sobre toda la
barra:
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